chapitre 1:
Le dipôle RC
1- ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE EN UC :
d'après la loi des mailles on à :
ur + uc - E = 0
eq : ur +uc = E
or ur = R* i = R *dq/dt = Rc *duc/dt
d'ou l'équation différentielle est:
Rc * duc/dt + uc = E
on divise par RC:
l'équation différentielle sera
duc/dt + 1/Rc *uc = E/RC
- vérifier que uc(t) = E(1-e(-t/RC) ) est une solution de l'eq diff:
uc(t) = E ( 1- e(-t/RC) )
duc/dt = E/Rc * e(-t/rc)
remplaçant les expressions les expressions on trouverons que :
=> Rc * duc/dt + uc = E
==> d'ou uc(t) = E(1-e(-t/RC) ) est une solution de l'eq diff
- sachant que uc(t) = A e (-ᾳ t)+β est une solution de l'eq diff , déterminer l'expression de A,ᾳ et β.
<=>
uc(t) =β -β * e (-ᾳ t)
duc/dt = ᾳ*β * e (-ᾳ t)
RC* duc/dt + uc = E
<=> RC *ᾳ*β * e (-ᾳ t) +β -β * e (-ᾳ t) = E
β * e (-ᾳ t) ( RC *ᾳ -1) + β = E
<=>
β =E et RC*ᾳ -1 = 0
<=> β =E et ᾳ = 1/Rc
==> d'ou uc(t) = E(1-e(-t/RC) )
équation différentielle variable Q
d'après la loi des mailles on à :
ur +uc -E =0
ur + uc = E
or ur = R* i = R *dq/dt
et uc = q/c
d'ou l'eq diff est
R *dq/dt + q/c = E
si on divise par R:
l'eq diff sera
dq/dt + 1/Rc *q = E/R
si on multiple par c :
l'eq diff sera
RC* dq/dt +q = c*E
ur +uc -E =0
ur + uc = E
or ur = R* i = R *dq/dt
et uc = q/c
d'ou l'eq diff est
R *dq/dt + q/c = E
si on divise par R:
l'eq diff sera
dq/dt + 1/Rc *q = E/R
si on multiple par c :
l'eq diff sera
RC* dq/dt +q = c*E
- vérifier que q(t) = Q (1-e(-t/RC)) est une solution de l'eq diff :
q(t) = Q(1-e(-t/RC)) = Q - Q e (-t/RC )
dq/dt = Q/RC *e(-t/Rc)
<=>
remplaçant les expressions on trouverons que:
dq/dt + 1/RC q = E/R
d'ou q(t) =E/R
==> d'ou q(t) = Q (1- e (-t/RC) ) est une solution
dq/dt = Q/RC *e(-t/Rc)
<=>
remplaçant les expressions on trouverons que:
dq/dt + 1/RC q = E/R
d'ou q(t) =E/R
==> d'ou q(t) = Q (1- e (-t/RC) ) est une solution
- sachant que q(t) = A(1-e(-ᾳ t ) ) est une solution de cette eq diff détérminer l'expression de A et ᾳ .
q(t) = A - A * e ( - ᾳ t )
dq/dt = ᾳ * A * e (- ᾳ t )
on à dq/dt + 1/RC q = E/R
ᾳ * A * e (- ᾳ t ) + 1/RC (A - A * e ( - ᾳ t ) ) = E/R
<=>
A* e (- ᾳ t ) (ᾳ - 1/Rc ) + A/RC = E/R
<=>
ᾳ - 1/Rc = 0 et A/Rc=E/RC
<=>
ᾳ = 1/RC et A = ( RC* E) /R = C*E= Q
==> d'ou q(t) = Q (1 - e(-t/RC)
dq/dt = ᾳ * A * e (- ᾳ t )
on à dq/dt + 1/RC q = E/R
ᾳ * A * e (- ᾳ t ) + 1/RC (A - A * e ( - ᾳ t ) ) = E/R
<=>
A* e (- ᾳ t ) (ᾳ - 1/Rc ) + A/RC = E/R
<=>
ᾳ - 1/Rc = 0 et A/Rc=E/RC
<=>
ᾳ = 1/RC et A = ( RC* E) /R = C*E= Q
==> d'ou q(t) = Q (1 - e(-t/RC)